情報地質学研究室 @ 岡山大学理学部

地球統計学と鉱物結晶学

結晶構造因子

物体を構成する各原子から散乱されたX線を位相を考えながら重ね合わせたもの $E$ を物体による回折X線と呼び, $$ \eqalign {E & = \int\rho(\boldsymbol{r})\exp\{2\pi i(\nu t+\delta(\boldsymbol{r}))\}dv \cr & = \int\rho(\boldsymbol{r})\exp\{2\pi i\delta(\boldsymbol{r})\}dv \exp(2\pi i\nu t) \cr & = F\exp(2\pi i \nu t) \tag{1}\cr} $$ で表される。ここで $F$ は $$F\equiv\int\rho(\boldsymbol{r})\exp\{2\pi i\delta(\boldsymbol{r})\}dv \tag{2}$$ で求められる物体の構造のみに関係した量で構造因子と呼ばれる。単独原子の構造因子 $f(\boldsymbol{k})$ は $$f(\boldsymbol{k}) = \int_{{\rm 原子}}\rho(\boldsymbol{r})\exp(2\pi i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r})dv \tag{3}$$ で表される.ここで $\boldsymbol{k}$ は逆格子ベクトル,$\boldsymbol{r}$ は実格子ベクトル, $\rho(\boldsymbol{r})$ は原子の電子密度そして $f(0)=\int\rho(\boldsymbol{r})dv$ は原子番号 $Z$ すなわち電子の数である。

単位胞の構造因子

単位胞の構造因子 $F(\boldsymbol{k})$ は3次元波数ベクトル $\boldsymbol{k}$ が定まると $$F(\boldsymbol{k}) = \sum_j f_j(\boldsymbol{k})T_j(\boldsymbol{k})\exp(2\pi i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}_j) \tag{4}$$ となり $\boldsymbol{k}$ 空間で連続した値を取る.ここで $T_j(\boldsymbol{k})$ は原子の熱振動に関する因子である。 一般的に $|F(\boldsymbol{k})|^2$ は $$ \eqalign { |F(\boldsymbol{k})|^2 & = \sum_j f_j T_j\exp(2\pi i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}_j)\cdot \sum_g f_g T_g\exp(-2\pi i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}_g)\cr & = \sum_j(f_j T_j)^2 + \sum_j\sum_g f_j f_g T_j T_g\exp\left\{2\pi i(\boldsymbol{r}_j-\boldsymbol{r}_g)\right\}\tag{5}\cr}$$ となる。式(5) の第 1 項はそれぞれの原子の寄与を足し合わせたもの,第 2 項は異なった原子から散乱された波の干渉である。

結晶の構造因子

結晶の構造因子 $C(\boldsymbol{k})$ は $$C(\boldsymbol{k}) = \sum_gF_g(\boldsymbol{k})\exp(2\pi i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}_g)\tag{6}$$ で表される。ここで $\boldsymbol{k}$ は逆格子ベクトル,また $\boldsymbol{r}_g$ は実格子ベクトル $$ \boldsymbol{r}_g = n\boldsymbol{a}+m\boldsymbol{b}+p\boldsymbol{c}$$ である。 $F_g(\boldsymbol{k})$ は各単位胞で等しいのでこれを $F(\boldsymbol{k})$ で置き換えて $\sum$ の外へ出すと 式(6) は $$\eqalign{ C(\boldsymbol{k}) & = F(\boldsymbol{k})\sum_g\exp 2\pi i\{\boldsymbol{k}\cdot(n\boldsymbol{a}+m\boldsymbol{b}+p\boldsymbol{c})\} \cr & = F(\boldsymbol{k})\sum_g \{\exp 2\pi i (n\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{a}) \cdot \exp 2\pi i (m\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{b}) \cdot \exp 2\pi i (p\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{c}) \}\cr & = F(\boldsymbol{k})\left\{\sum_{n=1}^{N} \exp 2\pi i (n\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{a}) \cdot \sum_{m=1}^M \exp 2\pi i (m\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{b}) \cdot \sum_{p=1}^P \exp 2\pi i (p\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{c}) \right\}\cr & = F(\boldsymbol{k})L \tag{7}\cr}$$ となる。式(7) において $$\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{a}=\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{b}=\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{c}={整数}$$ ならば $L=NMP$ すなわち結晶内の単位胞の総数となる。