ある長方形の面積を求めるために縦の長さ $x$ と横の長さ $y$ を複数回測定し，それぞれの平均値 $x,y$ と標準偏差 $e_x,e_y$ を得た。この値から面積 $s$ を求めた時，その標準偏差 $e_s$ を近似的に求める。 $$ s = f(x,y) = xy $$ なので $f(x\pm e_x, y\pm e_y) = (x\pm e_x)(y\pm e_y)$ において $e_s$ を近似的に求める。結論から言うと $e_s$ は $$ \eqalign{ e_s &= \sqrt {e_x^2\left({{\partial f}\over {\partial x}}\right)^2 + e_y^2\left({{\partial f}\over {\partial y}} \right)^2}\cr &= \sqrt{e_x^2y^2+e_y^2x^2} .\cr}$$ で推定できる。ここで使用した式は一般に誤差伝播の公式と呼ばれる様だ。
立体の縦・横・高さを複数回測定し，それぞれの平均値 $x,y,z$ と標準偏差 $e_x,e_y,e_z$ を得て体積 $v$ を $v=xyz$ にて求める場合の誤差 $e_v$ は $$ \eqalign{ e_v &= \sqrt {e_x^2\left({{\partial f}\over {\partial x}}\right)^2 + e_y^2\left({{\partial f}\over {\partial y}} \right)^2 + e_z^2\left({{\partial f}\over {\partial z}} \right)^2 }\cr &= \sqrt{e_x^2(yz)^2+e_y^2(zx)^2+e_z^2(xy)^2}\cr}$$ となる。以下でこれらの近似式を導出する。まず二変数関数 $f(x,y)$ における誤差の伝播を考える。
1. $f(x+e_x, y+e_y)$ をTaylor展開する(P173, 吉田)
$$ \eqalign{ f(x+e_x, y+e_y) \sim & \sum_{l=0}^n{1\over{l!}}\left(e_x{\partial\over {\partial x}}+e_y{\partial\over {\partial y}} \right)^{(l)}f(x,y)\cr = & f(x,y) + {1\over{1!}}\left(e_x{\partial\over {\partial x}}+e_y{\partial\over {\partial y}} \right)^{(1)}f(x,y) \cr & + {1\over{2!}}\left(e_x{\partial\over {\partial x}}+e_y{\partial\over {\partial y}} \right)^{(2)}f(x,y) + \cdots .\cr }$$ Taylor展開の2次以上の項は小さくなると仮定して無視する(
2. Taylor展開で近似した $f(x+e_x, y+e_y)$ の分散 $s_z$ を考える
$$ \eqalign{ s_z & = \left(f(x+e_x, y+e_y) -f(x,y)\right)^2\cr & = \left(f(x,y) + \left(e_x{\partial\over {\partial x}}+e_y{\partial\over {\partial y}}\right)^{(1)}f(x,y) - f(x,y)\right)^2 \cr & = \left(e_x{\partial\over {\partial x}}f(x,y)+e_y{\partial\over {\partial y}}f(x,y) \right)^2\cr & = e_x^2\left({\partial\over {\partial x}}f(x,y)\right)^2 + e_y^2\left({\partial\over {\partial y}}f(x,y) \right)^2 + 2e_xe_y\left({\partial\over {\partial x}}f(x,y)\right) \left({\partial\over {\partial y}}f(x,y) \right). \cr } $$ $f(x,y)\rightarrow f$ と簡略に表記する。$\displaystyle 2e_xe_y{{\partial f}\over {\partial x}}{{\partial f}\over {\partial y}}$ は $e_x\cdot e_y\sim 0$ となることを仮定して無視する(
3. $n$ 変数関数への拡張
Talor展開は $n$ 変数関数 $f(x_1,x_2,\ldots x_n)$ に対して拡張できるので， $f$ がTaylor展開可能かつ全ての変数の分散が十分に小さければ伝播する誤差を近似的に求め得る。すなわち $$ Var(z) = Var(x_1)\left({{\partial f}\over {\partial x_1}}\right)^2 + Var(x_2)\left({{\partial f}\over {\partial x_2}} \right)^2 + \cdots + Var(x_n)\left({{\partial f}\over {\partial x_n}}\right)^2$$ となる。先に例示した，直方体の体積計算における誤差伝播の公式は，この式に於いて $n=3$ の場合となる。
